Präsident Nelson wurde am 9. September 1924 als Sohn von Marion C. Nelson und Edna Nelson, geb. Anderson, geboren. Aus der Ehe mit seiner Frau Dantzel, geb. White, gingen zehn Kinder hervor. Schwester Nelson verstarb im Februar 2005. Seit April 2006 ist er mit Wendy L. Watson verheiratet.
Bevor er als Oberhaupt der Kirche berufen wurde, war Präsident Nelson seit dem 15. Juli 2015 Präsident des Kollegiums der Zwölf Apostel. Seit dem 7. April 1984 war er Mitglied dieses Kollegiums.
Dr. Nelson ist ein international anerkannter Chirurg und Forscher in der Medizin; er erhielt 1945 an der University of Utah den Bachelor of Arts und schloss dort 1947 sein Medizinstudium ab. Zu den akademischen Ehrengesellschaften, denen er angehört, zählen Phi Beta Kappa und Alpha Omega Alpha. Seine Facharztausbildung zum Chirurgen absolvierte er am Massachusetts General Hospital in Boston und an der University of Minnesota, an der er 1954 seinen Doktortitel erwarb. Ihm wurden ferner Ehrendoktortitel verliehen: 1970 in Naturwissenschaften von der Brigham-Young-Universität und 1989 in Medizin von der Utah State University; 1994 erhielt er vom Snow College die Ehrendoktorwürde.
Beruflich war er unter anderem als Professor für Chirurgie in der Forschung tätig, als Leiter der Facharztausbildung im Bereich Thoraxchirurgie an der University of Utah und als Vorsitzender der Abteilung Thoraxchirurgie am LDS Hospital in Salt Lake City.
Präsident Nelson hat zahlreiche Veröffentlichungen und Kapitel in Medizinlehrbüchern verfasst und vor seiner Berufung als Generalautorität vielerorts in den Vereinigten Staaten und in vielen anderen Ländern Fachvorträge gehalten. Er hat viele Auszeichnungen und Preise erhalten, unter anderem den Distinguished Alumni Award von der University of Utah, den Heart of Gold Award von der amerikanischen Herzgesellschaft, eine Würdigung dieser Gesellschaft für seine Verdienste im Ausland sowie den Golden Plate Award, der von der amerikanischen Akademie für besondere Leistungen verliehen wird. Von drei Universitäten in der Volksrepublik China wurde er mit einer Ehrenprofessur ausgezeichnet.
Dr. Nelson war auch Präsident der Gesellschaft für Gefäßchirurgie, Vorsitzender des amerikanischen Dachverbands für Thoraxchirurgie, Vorsitzender des Rates für kardiovaskuläre Chirurgie der amerikanischen Herzgesellschaft und Präsident der Ärztekammer von Utah.
Sein Name erscheint im Who’s Who in the World, Who’s Who in America und Who’s Who in Religion.
Präsident Nelson hatte in der Kirche zahlreiche verantwortungsvolle Aufgaben. Er war von 1964 bis Juni 1971 Präsident des Pfahles Bonneville, als er als Präsident der Sonntagsschule berufen wurde. Vor seiner Berufung ins Kollegium der Zwölf war er Regionalrepräsentant in der Region Kearns in Utah. Zuvor war er schon einmal Regionalrepräsentant für die Brigham-Young-Universität.